Kvadratet på en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på sidste led plus eller minus det dobbelte produkt

Bevis (algebraisk):

( a + b )2 = ( a + b )×( a + b ) = a×a + a×b + b×a + b×b = a×a + a×b + a×b + b×b = a2 + b2 + 2ab

( a - b )2 = ( a - b )×( a - b ) = a×a - a×b - b×a + b×b = a×a - a×b - a×b + b×b = a2 + b2 - 2ab


Bevis (geometrisk):


Af figuren ses, at arealet af det venstre kvadret er lig med summen af arealerne af firkanterne i det højre kvadrat. Altså er:
( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab

Af figuren ses, at arealet af det venstre kvadret er lig med summen af arealerne af firkanterne i det højre kvadrat. Altså er:
a2 = ( a - b )2+ 2( a - b )×b + b2 = ( a - b )2 + 2ab - 2b2 + b2
Ved at isolere ( a - b )2 får vi
( a - b )2 = a2 + b2 - 2ab


To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på det første tal minus kvadratet på det sidste tal

Bevis (algebraisk):

( a + b )×( a - b ) = a×a + a×b - b×a - b×b = a×a + a×b - a×b - b×b = a2 - b2


Bevis (geometrisk):
Det afmærkede rektangel har arealet ( a + b )×( a - b ) De to rektangler har sidelængderne a og b, derfor har de samme areal. Men rektanglet til højre er opdelt i et kvadrat med arealet b2 og et rektangel med arealet ( a - b )×b Rektanglet med arealet ab erstattes med kvadratet med arealet b2 og rektanglet med arealet ( a - b )×b.
Nu er hele den oprindelige figur (rektanglet med sidelængder ( a + b ) og (a - b ) placeret inde i et kvadrat med sidelængde a. Af figuren ses, at
a2 = ( a + b )×( a - b ) + b2
Heraf fås sætningen:
( a + b )×( a - b ) = a2 - b2.



Her kan du finde øve-opgaver til de to sætninger

Kvadratet på en toleddet størrelse (Edith Hansen, Frederiksborg Gymnasium)

To tals sum gange de samme to tals differens (Edith Hansen, Frederiksborg Gymnasium)

Denne side er sidst opdateret 26.8.2003